Procedimiento para calcular las fuerzas sísmicas para edificio por el método dinámico modal

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Método para calcular las fuerzas horizontales. Todas las matrices y ecuaciones que se presentan son para un ejemplo de edificio de 3 niveles, pero se puede generalizar para cualquier número de niveles.
Figura 1. Sistema de edificio con tres grados de libertad
Ecuaciones de equilibrio estático para calcular las rigideces de entrepiso.
Se calcula la rigidez de cada entrepiso con ayuda de un programa de un análisis estructural por medio de:
K = V/u
V  es el cortante del entrepiso
u  es la deformación del entrepiso
Procedimiento para calcular los modos de vibrar de la estructura.
Figura 2. Modelo con tres grados de libertad
El desarrollo de este determinante, para obtener los valores característicos, conduce a la ecuación siguiente:
Cuyas soluciones son las frecuencias de vibración.
Para calcular los modos de vibrar se utiliza la ecuación:
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtienen los valores de z para cada frecuencia de vibración.
Figura 3. Modos de vibrar de la estructura
Figura 4. Espectros de diseño elásticos
La aceleración de la gravedad que actúa sobre el edificio se calcula a continuación:
Los parámetros c, a
0
,
T
a
,
T
b
y
r se obtienen de los espectros de diseño de cada región de acuerdo con el reglamento de construcciones.
El valor del factor de comportamiento sísmico Q se obtiene de las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo.

La matriz de aceleraciones queda como:
Los coeficientes de participación se calculan por medio de la ecuación:
Los desplazamientos máximos se calculan con la siguiente ecuación:
Los desplazamientos de entrepiso se calculan como sigue:
Las fuerzas cortantes de los entrepisos se calculan con la siguiente ecuación:
Para calcular la respuesta debida a la combinación de todos los modos de vibrar se utiliza la siguiente ecuación:
Para calcular los desplazamientos relativos se utiliza la siguiente ecuación:
Para calcular los desplazamientos totales se utiliza la siguiente ecuación:
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